# M01-L01 一对一教师上课脚本

日期：260718

课程：三角化简：先判断公式

课型：高三数学一对一诊断巩固课

对象：数学约 105/150，基础有缺口，公式会背但方法选择不稳

课内时间：120 分钟

## 一、本节课只抓一个动作

本节课不是完整复习三角函数。

只抓一个核心动作：

```text
先观察角之间关系，再选公式。
```

老师全程围绕这句话追问，不要把课讲散。

## 二、课前 3 分钟：定目标

老师开场可以这样说：

```text
今天不追求把所有三角公式重新讲一遍。
我们只解决一件事：你看到三角化简题时，第一步先看什么。
如果你能在做题前说出“这个题该先看角关系、同角关系还是和差倍半关系”，这节课就有效。
```

记录本节目标：

```text
本节目标：学生能在计算前先判断角之间关系，再选择公式。
```

## 三、课内 120 分钟流程

| 环节 | 时间 | 老师任务 | 学生任务 |
|---|---:|---|---|
| 课前诊断 | 15 分钟 | 看真实卡点，不急着讲 | 做 5 题，说第一步 |
| 基础补课/听课 | 25 分钟 | 补本节必须会的基础 | 听/跟写关键公式 |
| 方法讲解 | 20 分钟 | 只讲“先看角关系” | 复述判断顺序 |
| 例题带做 | 30 分钟 | 追问公式选择理由 | 写步骤，说理由 |
| 当堂独立练 | 25 分钟 | 看是否能迁移 | 独立完成 4 题 |
| 课内口头复盘 | 5 分钟 | 收束成一句动作 | 说出下次第一步 |

说明：
- 上传题、作业、错因标签、下次第一步记录是课后动作，不计入 120 分钟。
- 网站可以显示这些动作，但老师上课时不要把上传操作占进课内时间。

## 四、课前诊断 15 分钟

诊断题：

```text
L01-D01
L01-D02
L01-D03
L01-D04
L01-D05
```

### 诊断要求

每题先问一句：

```text
你第一眼准备看什么？
```

不要先问答案。

学生回答后，老师记录：

```text
是否答对
第一步是否想得到
选了哪个公式
卡在哪里
是公式不会、不会选，还是计算错
```

### 逐题观察点

| 题目 | 老师重点看什么 | 常见卡点 |
|---|---|---|
| L01-D01 | 是否能由 `tanθ` 转成 `sinθ、cosθ` | 不会用 `tan=sin/cos`，不会设比值 |
| L01-D02 | 是否能把图像交点转成方程 | 只看图，不会写交点条件 |
| L01-D03 | 是否会先把分式转成 `tanα` | 盲目套和角公式 |
| L01-D04 | 是否能全式统一转成 `tanθ` | 会公式但不会统一变量 |
| L01-D05 | 是否能看出结构较难 | 直接硬算，失去方向 |

### 诊断后分路线

#### A 路线：基础缺口明显

判断标准：
- 5 题错 4-5 题
- 或者学生说不出 `tan=sin/cos`
- 或者不会用 `sin²+cos²=1`

调整：

```text
基础补课拉到 35 分钟
方法讲解压缩到 15 分钟
当堂练减少难题
L01-D05 不作为诊断要求
```

#### B 路线：中等卡点

判断标准：
- 5 题错 2-3 题
- 公式知道，但第一步不稳

调整：

```text
按标准节奏推进
重点追问“为什么选这个公式”
```

#### C 路线：诊断较好

判断标准：
- 5 题错 0-1 题
- 第一眼能说出角关系或同角关系

调整：

```text
基础补课缩到 10-15 分钟
增加当堂练或提高题
L01-D05 可作为挑战题讨论
```

## 五、基础补课/听课 25 分钟

本环节不是完整听大课，只补本节必须会的基础。

建议使用音频片段：

```text
L01-A01 基础补课：同角关系与基本公式
L01-A02 基础补课：公式选择与角关系观察
```

音频位置：

```text
音频素材文件/Math_Lesson01_Audio_Assets_260718
```

### 必补内容

老师只补这些：

```text
sin²θ + cos²θ = 1
tanθ = sinθ / cosθ
已知 tanθ，如何设 sinθ、cosθ 的比例
已知一个三角值，先判断象限
看到复杂式子，先统一成一种变量
```

### 老师追问

```text
已知 tanθ，为什么不要先求角度？
这个题能不能统一转成 tan？
如果出现 sin 和 cos 混在一起，你先想到什么？
什么情况下先用同角关系？
```

### 学生必须能说出

```text
已知 tan，先考虑 tan=sin/cos。
sin 和 cos 混在一起，先看能不能用 sin²+cos²=1。
不要先算角度，先看关系。
```

## 六、方法讲解 20 分钟

建议使用音频片段：

```text
L01-A03 方法讲解：诱导公式先看角关系
```

### 方法讲解只讲四句话

```text
第一，看题里有哪些角。
第二，看这些角之间是同角、互余互补、和差、倍半，还是周期关系。
第三，再决定用同角关系、诱导公式、和差公式、二倍角公式，还是辅助角公式。
第四，公式选定后再计算。
```

### 板书建议

```text
三角化简第一步

1. 同角：sin²+cos²=1，tan=sin/cos
2. 互余互补：诱导公式
3. 和差：sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)
4. 倍半：sin2α，cos2α，tan2α，半角
5. asin x + bcos x：辅助角
```

### 不要讲散

本节不展开完整三角体系。

不要长时间讲：
- 所有诱导公式表
- 所有图像性质
- 解三角形
- 辅助角高级题
- 导数或函数综合

## 七、例题带做 30 分钟

例题：

```text
L01-E01
L01-E02
```

可补充片段：

```text
L01-A04 例题讲解：诱导公式化简例题
```

### L01-E01 带做脚本

老师先问：

```text
题目给的是 sinα + 2cosα = -1，你第一眼想求什么？
你是先求 α，还是先求 sinα、cosα？
为什么这里可以联立 sin²α+cos²α=1？
求出 sinα、cosα 后，目标是 tan2α，你用哪个公式？
```

学生应该形成的步骤：

```text
先由条件和同角关系求 sinα、cosα
再求 tanα
最后用 tan2α
```

卡点判断：
- 如果学生想先求角度：说明方法入口不稳。
- 如果学生不会联立：说明同角关系基础缺口。
- 如果学生会求 tanα 但不会 tan2α：说明公式记忆缺口。

### L01-E02 带做脚本

老师先问：

```text
这个题第一眼有哪些角？
2α+π/2 能不能化简？
π/2-β 和 π/2+β 分别变成什么？
化简后目标式里还剩什么变量？
这个题为什么不能一上来硬算？
```

学生应该形成的步骤：

```text
先用诱导公式化简角
再把条件转成 tanβ 与 α 的关系
最后处理目标式最值
```

卡点判断：
- 如果学生看不到 `π/2±β`：角关系观察弱。
- 如果学生诱导公式符号错：公式记忆混乱。
- 如果学生条件和目标式接不上：结构观察弱。

## 八、当堂独立练 25 分钟

练习题：

```text
L01-P01
L01-P02
L01-P03
L01-P04
```

### 做题顺序

建议顺序：

```text
L01-P04 → L01-P03 → L01-P01 → L01-P02
```

原因：
- `L01-P04` 最适合检测角关系。
- `L01-P03` 检测和差公式。
- `L01-P01` 带函数条件，阅读量增加。
- `L01-P02` 是多选综合，最难，放最后。

### 独立练要求

每题先写一句：

```text
第一眼：……
```

例如：

```text
第一眼：看到 (1+sinβ)/cosβ，想到半角公式。
```

### 降难规则

如果学生在前两题已经明显卡住：

```text
暂停 L01-P02
改回 L01-D01、L01-D04 做同角关系巩固
当堂练只要求完成 2 题迁移
```

如果学生前两题顺利：

```text
保留 L01-P02 多选题
要求逐项判断 A/B/C/D
```

## 九、课内口头复盘 5 分钟

老师不要问：

```text
你今天听懂了吗？
```

要问：

```text
下次再遇到三角化简题，你第一步做什么？
```

学生必须说出类似这句话：

```text
先观察角之间关系，再选公式。
```

如果学生说不出来，老师追问到能说出来为止：

```text
你先看角，还是先算？
角之间可能有哪些关系？
同角、互余互补、和差、倍半分别对应哪些公式？
```

## 十、课后动作

课后动作不计入 120 分钟。

### 1. 上传过程题

题目：

```text
L01-U01
```

要求：

```text
必须写出 tan(α+β) 的公式
必须写出象限判断
不能只写答案
```

### 2. 作业

题目：

```text
L01-H01
L01-H02
L01-H03
L01-H04
L01-H05
L01-H06
```

注意：
- `L01-H04` 题图需复查裁切。
- `L01-H06` 是补充题，需标注“补充作业题”。

### 3. 错因标签

本节优先使用这些标签：

```text
不知道选哪个公式
不观察角之间关系
会公式但不会变形
计算符号错误
看懂解析但第一步想不到
基础定义不稳
诱导公式混乱
同角关系不熟
```

### 4. 下次第一步

学生课后写：

```text
下次遇到三角化简，先观察角之间关系，再选公式。
```

## 十一、老师课后记录模板

```text
本节诊断结果：

1. 课前诊断正确数：
2. 第一眼能说出方法的题数：
3. 主要卡点：
4. 是否加长基础补课：
5. 是否降低当堂练难度：
6. 本节最该保留的动作：
7. 下次课前 5 分钟要复查：
8. 课后作业是否需要减少/替换：
```

## 十二、网站页面对应关系

| 页面区域 | 使用素材 |
|---|---|
| 课前诊断 | L01-D01 到 L01-D05 |
| 基础补课/听课 | L01-A01、L01-A02 |
| 方法讲解 | L01-A03 |
| 例题带做 | L01-E01、L01-E02、L01-A04 |
| 当堂独立练 | L01-P01 到 L01-P04 |
| 课后上传 | L01-U01 |
| 作业 | L01-H01 到 L01-H06 |
| 方法提示/简要解析 | `资料核对文件/Math_Lesson01_Brief_Solution_Map_260718.md` |

## 十三、本节课完成标准

本节不以“做完所有题”为唯一完成标准。

完成标准是：

```text
学生能说出并执行：先观察角之间关系，再选公式。
```

最低过关：
- 课前诊断后能说出主要卡点。
- 例题中能解释至少 1 次为什么选这个公式。
- 当堂练至少 2 题能先写“第一眼”。
- 课内复盘能说出“下次第一步”。

较好过关：
- 当堂练完成 3-4 题。
- 多选题能逐项判断。
- 课后上传题过程完整，有象限判断。